PPAP（ペンパイナッポーアッポーペン）の代数的構造(３) PPAPはランク3の自由Z-加群

1回目の記事でPPAPは単位的マグマと書いたけど、2回目の記事でそれでは説明できないサンプルがあって、否定されてしまいました。

というわけで、演算を最初から作りなおして整合性がある状態にします。

いきなりですが✏(ペン)、🍎(アッポー)、🍍(パイナッポー)の３つの文字に対して、

S := { n✏ + m🍍 + l🍎 | n, m, l ∈ 整数Z }

とします。つまりSは集合{✏, 🍎, 🍍}を基底として持つ自由Z-加群である。Sの元としては、

1✏ + 1🍍 + 2🍎

-2✏ + -3🍍 + -5🍎

0✏ + 1🍍 + 0🍎

0✏ + 0🍍 + 0🍎

こんなものがあります。このままだと表現しにくいので、1や+は省略して、0がかかっている文字も省略します。

1✏ + 1🍍 + 2🍎　→　✏🍍2🍎

-2✏ + -3🍍 + -5🍎　→　-2✏-3🍍-5🍎

0✏ + 1🍍 + 0🍎　→　🍍

0✏ + 0🍍 + 0🍎　→　0

マイナスがつくとちょっと見た目がアヤシイですが、まあ気にしないでください。

演算の条件を満たすように、特別なときだけ見た目を変更するようにします。

ペン✏は、係数が1より大きい時はひとつだけ右側に書きます。

✏🍍🍎　→　✏🍍🍎　（変わらず）

2✏🍍🍎　→　✏🍍🍎✏

3✏🍍🍎　→　2✏🍍🍎✏

アッポー🍎とパイナッポー🍍は、それぞれの係数が１でペン✏の係数が0の時だけ、逆順にします。

✏🍍🍎　→　✏🍍🍎　（変わらず）

🍍🍎　→　🍎🍍

この見た目に関するルールを入れると、満たすべき条件が全て成立するのです。

✏ + 🍎 = 🍎✏

✏ + 🍍 = 🍍✏

🍎✏ + 🍍✏ = ✏🍍🍎✏

✏ + ✏ = ✏✏

🍍 + 🍎 = 🍎🍍

✏✏ + 🍎🍍 = ✏🍍🍎✏

というわけで、PPAPはランク3の自由Z-加群である。