Our last #SiggraphAsia paper on Position-Based #Tensegrity Design paper is online! https://t.co/A3oALEuOPP pic.twitter.com/rqdh651dWF
— Paolo Cignoni (@ALoopingIcon) 2017年9月22日

テンセグリティは棒が３本、６本、１２本、３０本のタイプを知っていたけど、このテンセグリティは７本の棒で作っている！！！

自分でも作ってみたいです。見ているだけでは構造が理解できないです。

Position-Based Tensegrity Designという論文のようです。この論文の画像を見ているだけでも楽しいです。

2017-12-12

最適テンセグリティ方程式(計算編)

テンセグリティアドベントカレンダー2017 テンセグリティ

akiyah.hatenablog.com

続きです。方程式を解く前にコンピューターでグラフを書いて様子を見てみます。

前回定式化した式をほぼそのままRに入れてプロットしてみました。

gist.github.com

出力したグラフはこれです。

f:id:Akiyah:20171212054805p:plain

0.7よりちょっと大きいくらいの $t$ が $d$ を最大にしそうです。

2017-12-11

最適テンセグリティ方程式(定式化編)

テンセグリティアドベントカレンダー2017 テンセグリティ

akiyah.hatenablog.com

続きです。今回は定式化します。

f:id:Akiyah:20171210103201j:plain

図に書くとこんな感じです。

テンセグリティの棒の長さは1として固定します。上と下の三角形の1辺の長さを $t$ と置きます。三角形に外接する円の半径を $s (= \frac{t}{\sqrt{3}})$ 、円柱の高さを $h$ とします。図中の点 $A$ 、点 $A^{\prime}$ 、点 $B$ 、点 $B^{\prime}$ は下記のように $s$ と $h$ で表すことが出来ます。

\begin{align}
A &= \left( s, 0, 0 \right) \\
B &= \left( -\frac{1}{2}s, \frac{\sqrt{3}}{2}s, 0 \right) \\
A^{\prime} &= \left( -\frac{\sqrt{3}}{2}s,\frac{1}{2}s, h \right) \\
B^{\prime} &= \left( 0, -s, h \right)
\end{align}

直線と直線の距離は公式があります。

physmath.main.jp

これを直線 $AA^{\prime}$ と直線 $BB^{\prime}$ に当てはめてみます。

\begin{align}
d = \frac{
\left| \left(\overrightarrow{OA} -\overrightarrow{OB} , \overrightarrow{AA^{\prime}} \times \overrightarrow{BB^{\prime}} \right) \right|
}{
\| \overrightarrow{AA^{\prime}} \times \overrightarrow{BB^{\prime}} \|
}
\end{align}

この $d$ が最大になる $t$ を探すのが目的です。

$h$ は $t$ で定まりますが、その条件も書いておきます。棒の長さを1としたので、

\begin{align}
1 &= \| \overrightarrow{AA^{\prime}} \| \\
1 &= \| \overrightarrow{AA^{\prime}} \| ^2 \\
& = \left( s - \left( -\frac{\sqrt{3}}{2}s \right) \right)^2 + \left( 0 - \frac{1}{2}s \right)^2 + \left( 0 - h \right) ^2 \\
& =\left( \left(1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 + \left( \frac{1}{2} \right)^2 \right) s^2 + h^2
\end{align}

が成り立ちます。つまり、 $h$ は $s$ で定まり、すなわち $t$ で定まります。