最適テンセグリティ方程式(定式化編)
続きです。今回は定式化します。
図に書くとこんな感じです。
テンセグリティの棒の長さは1として固定します。上と下の三角形の1辺の長さをと置きます。三角形に外接する円の半径を
、円柱の高さを
とします。図中の点
、点
、点
、点
は下記のように
と
で表すことが出来ます。
\begin{align}
A &= \left( s, 0, 0 \right) \\
B &= \left( -\frac{1}{2}s, \frac{\sqrt{3}}{2}s, 0 \right) \\
A^{\prime} &= \left( -\frac{\sqrt{3}}{2}s,\frac{1}{2}s, h \right) \\
B^{\prime} &= \left( 0, -s, h \right)
\end{align}
直線と直線の距離は公式があります。
これを直線と直線
に当てはめてみます。
\begin{align}
d = \frac{
\left| \left(\overrightarrow{OA} -\overrightarrow{OB} , \overrightarrow{AA^{\prime}} \times \overrightarrow{BB^{\prime}} \right) \right|
}{
\| \overrightarrow{AA^{\prime}} \times \overrightarrow{BB^{\prime}} \|
}
\end{align}
このが最大になる
を探すのが目的です。
は
で定まりますが、その条件も書いておきます。棒の長さを1としたので、
\begin{align}
1 &= \| \overrightarrow{AA^{\prime}} \| \\
1 &= \| \overrightarrow{AA^{\prime}} \| ^2 \\
& = \left( s - \left( -\frac{\sqrt{3}}{2}s \right) \right)^2 + \left( 0 - \frac{1}{2}s \right)^2 + \left( 0 - h \right) ^2 \\
& =\left( \left(1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 + \left( \frac{1}{2} \right)^2 \right) s^2 + h^2
\end{align}
が成り立ちます。つまり、は
で定まり、すなわち
で定まります。
