結城さんのf(x+y)=f(x)f(y)の問題を解いてみる

これ、いろいろ考えちゃう面白い問題ですね。

自分なりの解答も書いてみます。

補題1:
{ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} } が { f(x+y) = f(x)f(y) \ (\forall{x}, \forall{y} \in \mathbb{R}) } を満たすなら、 { f(x) = 0 \ (\forall{x} \in \mathbb{R}) } か { f(x) \gt 0 \ (\forall{x} \in \mathbb{R}) } のどちらかである。

補題1の証明:
{\forall{x} \in \mathbb{R} } に対して
{\displaystyle f(x) = f\left(\frac{x}{2} + \frac{x}{2}\right) = f\left(\frac{x}{2}\right) f\left(\frac{x}{2}\right) = f\left(\frac{x}{2}\right)^2 \geq 0 }
である。
もし{ f(x_0) = 0 }となる{ x_0 \in \mathbb{R} } が存在したとすると、{\forall{x} \in \mathbb{R} } に対して、
{\displaystyle f(x) = f \left( \left(x-x_0 \right) + x_0 \right) = f \left( x-x_0 \right) f \left( x_0 \right) = f \left( x-x_0 \right) 0 = 0 }
である。
そうでなければ、{ f(x) \gt 0 \ (\forall{x} \in \mathbb{R}) }である。（証明終）

問題の証明:
{ f(0) = 0 } とすると{ y=f(x) }と{ y=x }が{ (x, y)=(0,0) }で共有点を持ってしまう。したがって{ f(0) \ne 0 }であり、補題より、{ f(x) \gt 0 (\forall{x} \in \mathbb{R}) }となる。（証明終）

 

次にでてくる疑問は、実際にこの条件を満たす関数{ f(x) }は存在するのか、ですよね。
{\displaystyle f(x) = \mathrm{e}^{ax} \ \left(a \gt \frac{1}{\mathrm{e}} \right) }
がその答えになります。{ f(x+y) = f(x)f(y) }を満たすのは簡単に示せるけど、{ y=x }と共有点を持たないような{ a }の条件は、少し計算しないといけないですね。

そしてさらに次の疑問は、この形以外には条件を満たす関数{ f(x) }は存在しないのか、ということです。
{\displaystyle f\left(\frac{p}{q}\right) = f\left(1\right)^{\frac{p}{q}} \ (p, q \in \mathbb{Z}, q \ne 0) }
であることも簡単に示せるので、定義域を有理数{ \mathbb{Q}}に限定したら上記の形しか無いことが解ります。 関数{ f(x) }が連続であるという条件を入れたら{ f(x) = \mathrm{e}^{ax} }しかないということですね。
じゃあ、関数{ f(x) }が連続という条件がない場合は、、、この形じゃない例もありますね。それはまた別のエントリーで。

参考

auewe.hatenablog.com