#アンケート で答える #数学の問題 (6時間)。実数xに対し実数値を取る関数f(x)があります。実数x,yに対してf(x+y)=f(x)f(y) を満たし、y=f(x)とy=xのグラフは共有点を持ちません。このとき実数xに対して…
— 結城浩 (@hyuki) 2016年5月25日
これ、いろいろ考えちゃう面白い問題ですね。
あらためて書きました。 pic.twitter.com/r1F5V1yIh3
— 結城浩 (@hyuki) 2016年5月25日
自分なりの解答も書いてみます。
補題1: が
を満たすなら、
か
のどちらかである。
補題1の証明: に対して
である。
もしとなる
が存在したとすると、
に対して、
である。
そうでなければ、である。(証明終)
問題の証明:
とすると
と
が
で共有点を持ってしまう。したがって
であり、補題より、
となる。(証明終)
次にでてくる疑問は、実際にこの条件を満たす関数は存在するのか、ですよね。
がその答えになります。を満たすのは簡単に示せるけど、
と共有点を持たないような
の条件は、少し計算しないといけないですね。
そしてさらに次の疑問は、この形以外には条件を満たす関数は存在しないのか、ということです。
であることも簡単に示せるので、定義域を有理数に限定したら上記の形しか無いことが解ります。 関数
が連続であるという条件を入れたら
しかないということですね。
じゃあ、関数が連続という条件がない場合は、、、この形じゃない例もありますね。それはまた別のエントリーで。
参考