結城さんのf(x+y)=f(x)f(y)の問題を解いてみる
#アンケート で答える #数学の問題 (6時間)。実数xに対し実数値を取る関数f(x)があります。実数x,yに対してf(x+y)=f(x)f(y) を満たし、y=f(x)とy=xのグラフは共有点を持ちません。このとき実数xに対して…
— 結城浩 (@hyuki) 2016年5月25日
これ、いろいろ考えちゃう面白い問題ですね。
あらためて書きました。 pic.twitter.com/r1F5V1yIh3
— 結城浩 (@hyuki) 2016年5月25日
自分なりの解答も書いてみます。
補題1:
が を満たすなら、 か のどちらかである。
補題1の証明:
に対して
である。
もしとなる が存在したとすると、 に対して、
である。
そうでなければ、である。(証明終)
問題の証明:
とするととがで共有点を持ってしまう。したがってであり、補題より、となる。(証明終)
次にでてくる疑問は、実際にこの条件を満たす関数は存在するのか、ですよね。
がその答えになります。を満たすのは簡単に示せるけど、と共有点を持たないようなの条件は、少し計算しないといけないですね。
そしてさらに次の疑問は、この形以外には条件を満たす関数は存在しないのか、ということです。
であることも簡単に示せるので、定義域を有理数に限定したら上記の形しか無いことが解ります。 関数が連続であるという条件を入れたらしかないということですね。
じゃあ、関数が連続という条件がない場合は、、、この形じゃない例もありますね。それはまた別のエントリーで。
参考