一番好きな数式 √2^√2^√2

私の一番好きな数式は、 ${ {\sqrt{2}^{\sqrt{2}}}^{\sqrt{2}} }$ です。乗数の計算順序が不明確なので、括弧をつけておくと、 ${ {\left( \sqrt{2}^{\sqrt{2}} \right)}^{\sqrt{2}} }$ です。

解いてみると、

${ {\sqrt{2}^{\sqrt{2}}}^{\sqrt{2}} = {\left( \sqrt{2}^{\sqrt{2}} \right)}^{\sqrt{2}} = \sqrt{2}^{ \left( \sqrt{2} \times \sqrt{2} \right) } = \sqrt{2}^{ 2 } = 2 }$

なので、実は2になるのです。

これがなんと、「無理数の無理数乗で有理数になるものが存在するか」の証明で使えるのですよね。

${ \sqrt{2}^{\sqrt{2}} }$ がもしも有理数ならば、無理数( ${ \sqrt{2} }$ )の無理数乗( ${ \sqrt{2} }$ )で有理数( ${ \sqrt{2}^{\sqrt{2}} }$ )になるものが存在したことが言えます。

そうでない場合、つまり ${ \sqrt{2}^{\sqrt{2}} }$ が無理数だった場合は、無理数( ${ \sqrt{2}^{\sqrt{2}} }$ )の無理数乗( ${ \sqrt{2} }$ )で有理数( ${ {\sqrt{2}^{\sqrt{2}}}^{\sqrt{2}} = 2 }$ )になるものが存在したことが、やはり言えます。

${ \sqrt{2}^{\sqrt{2}} }$ が有理数だか無理数だかはっきりしないまま、目的の証明が完了しているのが、すごいと思います。実際には、 ${ \sqrt{2}^{\sqrt{2}} }$ は超越数だそうですね。超越数なので当然、無理数でもあります。

この本に載っている数式でした。

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このことの数年前のツイートがこちら。

無理数の無理数乗で有理数になるものが存在するのかの証明で使う式。√2^√2が有理数ならばそれが答えで、そうでなければ(√2^√2)^√2=2がその答え。√2^√2が実際に有理数なのか無理数なのか不明のまま証明が終わるのがすごい。 pic.twitter.com/axdffsc1CA
— Akiya Mizukoshi (@Akiyah) 2014年3月8日

ちなみにこのツイートで使ったツールは、MyScript Calculator です。手書きできる計算機です。このアプリ大好き。

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